歐拉不是第一個摸到它的人 —— 1714 年,牛頓最看重的年輕人 Roger Cotes 已寫下它的對數形式,卻在 33 歲驟逝,牛頓嘆道:「如果 Cotes 還活著,我們也許會多知道些什麼。」二十多年後,歐拉用級數把這條通道徹底打通。歐拉一生寫了八百多篇論文,晚年雙目失明仍口述不輟;e、i、π、f(x) 這些記號都是他定下的 —— 我們今天寫的數學,一半是他的筆跡。
先說一件反直覺的事:eix 不是「把 e 自乘 ix 次」 —— 那根本沒意義。它真正的意思,簡單到驚人:
一旦接受這件事,公式幾乎就是廢話一句:轉了 x 弧度之後,你落在圓上的那個點,橫座標是 cos x、縱座標是 sin x。而這本來就是 cos、sin 的定義 —— 它們是圓上的座標。
所以 eix = cos x + i·sin x 在說:那個旋轉的點 = 它的橫影子 + i 倍的縱影子。
而左圖最迷人的地方,是右半邊那兩道波:
旋轉,從側面看,就是一道波。讓圓上的點一直轉,把它的高度隨時間畫出來 —— 你會得到一條正弦波;把寬度畫出來,得到一條餘弦波。
cos 和 sin 從來不是兩個各自獨立的函數。它們是同一個圓周運動,投影在兩面互相垂直的牆上的影子。這就是為什麼凡是「繞圈」的東西 —— 聲音、光、交流電、行星 —— 從某個方向看過去,都是一條正弦波。