歐拉不是第一個摸到它的人 —— 1714 年,牛頓最看重的年輕人 Roger Cotes 已寫下它的對數形式,卻在 33 歲驟逝,牛頓嘆道:「如果 Cotes 還活著,我們也許會多知道些什麼。」二十多年後,歐拉用級數把這條通道徹底打通。歐拉一生寫了八百多篇論文,晚年雙目失明仍口述不輟;e、i、π、f(x) 這些記號都是他定下的 —— 我們今天寫的數學,一半是他的筆跡。
到目前為止,我們用過這條公式兩次 —— 第一天的最美算式、今天的一般版。兩次我都請你先「接受」一件事:虛數次方等於旋轉。今天,把這筆債還清。
我們會用三種完全不同的角度,證明 eix 真的在旋轉;然後,看它通往哪裡 —— 那個第二天就答應過你的地方:傅立葉。
複數乘法藏著一個祕密:乘以一個數,等於旋轉 + 縮放。而乘以 i,純粹就是逆時針轉 90°,長度不變。
用代數看一眼就懂:i·(a + bi) = ai + bi² = −b + ai。也就是把座標 (a, b) 變成 (−b, a) —— 這正是「向左轉 90°」的公式。
連轉四次:1 → i → −1 → −i → 1,剛好繞回原點。這就是為什麼 i 叫「虛數單位」卻一點都不虛 —— 它是平面上的直角轉彎器。
記住這顆種子。等一下你會看到:eix 不過是把「轉一點點」這個動作,連續地、無限次地累積起來。轉 90° 的離散版,長大成了連續的圓周。
eˣ 有一個著名的「無窮多項式」身分:
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
現在把 x 換成 ix。關鍵在於 i 的次方會四個一循環:i, −1, −i, 1, i, −1…… 於是這串級數自動分裂成兩半 ——
不帶 i 的項(第 0、2、4… 項)湊成 1 − x²/2! + x⁴/4! − …,這正是 cos x 的級數;帶 i 的項湊成 i·(x − x³/3! + …),正是 i·sin x。
所以 eix = cos x + i·sin x 不是巧合,是被級數逼出來的。左圖把每一個「部分和」畫成平面上的點:加越多項,螺旋就越收越緊,最後精準命中圓上的那個點。把滑桿 N 拉滿,誤差會掉到幾乎是零。
這也順手證明了:cos 和 sin,其實是 e 這個「成長之數」在虛數方向上的兩張臉。
假設一個點的位置是 eix。把它對時間 x 微分,問它往哪走、走多快?
微分的結果是 i · eix。看到那個 i 了嗎?——根據第一章,乘以 i 就是轉 90°。所以這個點的速度,永遠是它的位置轉了 90°:永遠指向切線方向,而且長度永遠是 1。
一個等速、又永遠朝著「垂直於半徑」方向前進的點,除了繞著圓打轉,別無選擇。它停不下來,也飛不出去。這就是 eix 在做的事 —— 一場永恆的等速圓周運動。
第二天結尾我說過:每段訊號,都是用無數個旋轉的指數拼出來的。現在,親眼看它發生。
左邊每一個圈,都是一根 eikx —— 以不同頻率 k 旋轉、不同長度的指針。把它們首尾相接,最末端那一點的高度,隨時間畫出來,就是右邊那條波。
只用 1 根指針,你得到一條平滑的正弦波。加到 3 根、5 根、7 根…… 那條波的肩膀越來越方,越來越逼近一個方波(數位訊號裡的開與關)。
這就是傅立葉級數:任何週期訊號 = 一堆旋轉指數的加總。而每一根指針,都是今天這條歐拉公式的化身。聲音、影像、Wi-Fi —— 拆開來,全是這些轉圈的指針。
回到那條線索 —— 為什麼指數會旋轉?
因為指數是成長,而 i 是轉向。
把成長交給虛數方向,爆炸就馴化成了繞圈,
繞圈從側面看是波,波疊起來就是整個世界的訊號。
eix = cos x + i·sin x —— 短短一行,是宇宙用來書寫「振動」的字母。