1665 年倫敦大瘟疫,劍橋關校,23 歲的牛頓回鄉下躲了近兩年 —— 就在那段日子裡,他發明了微積分、拆解了白光、想通了引力,史稱「奇蹟年」。但這門學問的身世也有難看的一頁:牛頓與萊布尼茲各自獨立發明微積分,卻為「誰先」撕破臉;皇家學會組了「公正委員會」裁定牛頓勝 —— 會長是牛頓,調查報告也是牛頓匿名執筆。英國數學界為效忠牛頓的記號與歐陸賭氣百年,反而自己落後了一個世紀 —— 你今天寫的 dy/dx,是萊布尼茲的。
你開車時,儀表板上的時速,顯示的是你「此刻」開多快 —— 不是整趟的平均,是這一秒的瞬間速度。
可是「一個點的斜率」聽起來怪 —— 斜率不是要兩個點才算得出來嗎?聰明的辦法在左圖:
先取兩個點 P 和 Q(相距 h),連成一條割線,算它的斜率,就是高度差 ÷ 水平距離(rise / run),這是平均變化率。然後讓 Q 慢慢滑向 P(把 h 縮小)。當兩點快要重合,割線就貼成了只碰一點的切線 —— 那條切線的斜率,就是這一點的瞬間斜率,就是導數。
式子在說的就是這件事:
f′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / h
一個字一個字拆:[f(x+h) − f(x)] 是高度差(rise),÷ h 是水平距離(run),合起來是割線斜率;前面的 limh→0 是「讓 h 縮到趨近於 0」,取那個極限。