積分的第一位高手,比牛頓早一千九百年。阿基米德在《方法論》裡用「無限薄切片」算面積與體積 —— 這份手稿十三世紀被修士刮掉字跡、覆寫成祈禱書,從此消失;1906 年在伊斯坦堡被認出,1998 年於佳士得拍出兩百多萬美元,匿名買家將它出借給博物館,用 X 光與多光譜成像一個字一個字讀回來。人類差一點就永遠不知道:積分的靈魂,兩千兩百年前已有人寫下。
昨天的導數是「速度表」—— 告訴你此刻開多快。今天的積分,是「里程表」—— 把速度一路累積起來,告訴你總共走了多遠。它們是一對。
那個拉長的符號 ∫,其實就是一個拉長的 S,代表 Sum(求和);後面的 dx,是每一片的「微小寬度」。所以 ∫ f(x) dx 念出來就是:把一片片(高度 f(x) × 微小寬度 dx),全部加起來。
薄片切得越薄(片數 n 越多),長方形的階梯就越貼合曲線,總和就越接近真正的面積。當薄片數 → 無限多,階梯變成完美的曲線下面積。
式子在說的就是這件事:
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σ f(xᵢ)·Δx
和昨天對照,剛好成一對:導數是「差」的極限,積分是「和」的極限。