1801 年元旦,義大利神父皮亞齊發現第一顆小行星「穀神星」,追蹤四十天後,它躲進太陽的光芒裡,全歐洲的望遠鏡都找不回來。24 歲的高斯出手:他假設觀測誤差服從一條鐘形曲線,用最小平方法從殘缺數據裡擠出軌道 —— 年底,天文學家對準他預測的位置一看,穀神星就在那裡。高斯一夜封神,「誤差的曲線」從此掛上他的名字。後來的統計學家高爾頓為它寫下讚嘆:它在最狂野的混亂中,不動聲色地統治 —— 「若古希臘人識得它,必為它封神。」
上一堂的結尾,你閉眼亂丟飛鏢,發現「亂,丟得夠多就服從秩序」。新一季開幕,先看這個秩序長什麼樣子:一座鐘形的山。
為什麼中間高、兩邊低?因為要落在正中央,只需要「左右各半」—— 走法非常多;要落在最邊邊,得 10 次全往同一邊 —— 走法只有 1 種。中央是多數路徑的匯集處,邊緣是奇蹟的專屬席。
再看式子,兩位老朋友都到場了:
f(x) = e−x²/2 / √(2π)
e−x²/2:離中心越遠越罕見,而且是平方級地罕見(所以尾巴掉得飛快)—— e 負責「衰減的方式」。√(2π):把曲線下的總面積調成剛好 1 —— 因為面積 = 機率,全部可能加起來必須是 100%。至於 π 為什麼會住在一條「跟圓無關」的曲線裡…… 深入版揭曉,保證起雞皮疙瘩。